Une suite qui tend vers e

1. À l'aide de la convexité, montrer que, pour tout réel $x$ , ${\text{e}}^x⩾1+x$ .

2. En utilisant l'inégalité précédente, démontrer que, pour tout entier naturel $n$  non nul, ${\text{e}}^{\frac{1}{n}}⩾1+{\displaystyle \frac{1}{n}}$  puis que ${\text{e}}^{\frac{-1}{n+1}}⩾1-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$ .

3. a. En déduire un encadrement de ${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$ .
    b. Calculer $\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}{(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$ .