Une suite qui tend vers e

1. À l'aide de la convexité, montrer que, pour tout réel \(x\) , \(\text{e}^{x}\geqslant 1+x\) .

2. En utilisant l'inégalité précédente, démontrer que, pour tout entier naturel \(n\)  non nul, \(\text{e}^{\frac{1}{n}}\geqslant1+\dfrac{1}{n}\)  puis que \(\text{e}^{\frac{-1}{n+1}}\geqslant1-\dfrac{1}{n+1}\) .

3. a. En déduire un encadrement de \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\) .
    b. Calculer \(\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n}\) .